有趣的國中數學思考問題之1

魔方陣

將1 ~ 9 填入下方九個方格中，
使得每行、每列及對角線之和皆相等。

摩方陣口訣

九子斜排 上下對易 左右相更 四維挺進
戴九履一 左三右七 二四為肩 六八為足

九子斜排 まままま上下對易ままままま左右相更 まままま四維挺進

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戴九履一 ま左三右七 ま 二四為肩 ま六八為足 （敘述此魔方陣的模樣）

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魔方陣解答

分析：
1.求出這個共同的和是多少？
ＡＮＳ： 1 + 2 + 3 +•••+ 9 ﹦45
45 ÷3 ﹦15

2.決定中間那格為何數？為何是5？
1 ~ 9中，任取三數相加為15有八種情況：
1 + 5 + 9 ﹦15 もも2 + 5 + 8 ﹦15
3 + 5 + 7 ﹦15 もも4 + 5 + 6 ﹦15
2 + 4 + 9 ＝15 もも3 + 4 + 8 ＝15
1 + 6 + 8 ＝15もも 2 + 6 + 7 ＝15
在這八種情況中5出現四次，
2、4、6、8各出現三次，
1、3、7、9各出現二次

對應到方格，我們發現中間那格共有1行1列及兩對角線通過
四個角落各有1行1列及一對角線通過
剩餘四格僅有1行1列通過
所以將5填入中間那格，
2、4、6、8填入四個角落 (2、5、8成一直線or 4、5、6成一直線)
再將1、3、7、9填入適當的剩餘四格中

3.楊輝《續古摘奇算經》（1275年）

九子斜排 上下對易 左右相更 四維挺進
戴九履一 左三右七 二四為肩 六八為足

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假 鈔 風 波

甲拿一張500元大鈔向鐘錶店老闆購買一支130元的手錶，因鐘錶店老闆沒零錢，所以拿這張500元大鈔向鄰居乙換錢，然後找370元給甲。事後，乙發現這張500元大鈔是假的，於是向鐘錶店老闆要回真的500元。請問在這場交易當中，老闆總共損失多少元？(假設手錶原價就是130元)

假鈔風波解答?

ＡＮＳ：損失500元！
まま ま ∵鄰居沒賺錢 & 只有甲賺了500元 ∴老闆損失500元

分析：本題一般回答的答案是630元，其次是1000元，答870元者也不少。
まま 以我教過的班級來說，全班的答案不外乎以上三者，根據之前的調查，
まま 很多大專生和一般社會人士都答錯，即使解釋過，他們依然心存懷疑。
まま 所以本題如實際操作，可得到較清楚的了解。

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角度問題

上圖中，ABFE、BCGF、CDHG皆為相同大小的正方形

求∠1+∠2+∠3

角度問題解答

(1)∠1 = 45°
(2)右圖中 ∵∠2+∠4 = 90°
∴∠ABC = 90°
即△ABC為一等腰直角三角形
故∠2+∠3 = 45°
∴ ∠1+∠2+∠3 = 90°
...................

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換個角度看問題

2.單淘汰賽
有37人參加桌球比賽，比賽採單淘汰制：抽籤捉對廝殺，若掛單就自然晉級。問須賽多少場才能產生冠軍？

3.酒水混合
相同杯子兩隻，甲杯裝清水半杯，乙杯裝純酒精半杯。現自乙杯取酒精一湯匙倒入甲杯，混合後，自甲杯再取一湯匙倒回乙杯，試比較乙杯所含的水量與甲杯所含的酒精量何者為多？

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牛奶問題 ?

一個裝牛奶瓶的箱子分成4 ×6格，在這個箱子中放18瓶

牛奶（每格最多只能放一瓶），要使各行、各列的奶瓶數

都成偶數，應該怎樣放？

牛奶問題解答

24格放18瓶牛奶，有6個空格。因為4（行）、6（列）都是偶數，又要求所放的奶瓶數各行各列也都是偶數，於是各行各列的空格數也是偶數。

如：

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為何是平方數呢?

為什麼4個連續正整數相乘再加1，就是一個完全平方數？

例如：1×2×3×4＋1＝25＝52
ままま2×3×4×5＋1＝121＝112
ままま3×4×5×6＋1＝361＝192
ままま4×5×6×7＋1＝841＝292

為什麼4個連續正整數相乘再加1，就是一個完全平方數

證明

直尺作圖（二）

1.已知：線段ＡＢ與ＡＢ的平行線Ｌ　求作：只用直尺做出線段ＡＢ的中點

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2.已知：線段ＡＢ與其中點Ｍ，Ρ為線段ＡＢ外一點　求作：只用直尺過Ρ做出線段ＡＢ的平行線

直尺作圖（二）之作法

1.作法：
　 （1）在線段ＡＢ與Ｌ外任取一點Ｃ， 連ＣＡ、ＣＢ分別交Ｌ於Ｄ、Ｅ　

　（2）連ＢＤ、ＡＥ設相交於Ｆ 　（3）連ＣＦ交ＡＢ於Ｍ，則點Ｍ即為所求

2.作法：
　 （1）作ＡΡ直線，並在ＡΡ直線上任取一點Ｃ　（2）連ＢΡ、ＣＭ設相交於Ｄ

　（3）連ＢＣ、ＡＤ設相交於Ｅ　（4）作ΡＥ直線，則ΡＥ直線即為所求

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小於十分之一

試證明：

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小於十分之一解答

解一：　
　 x、y＞0 若　xy=1/100　且　y＞x
則 y＞1/10，x＜1/10

解二：

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孤獨的七

在下列空格中填入適當數字，完成這道除法。

孤獨的七之解答?

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同一天生的機率

問題：在23人當中，至少有兩個人生日同一天的機率有多高昵？

一般人的推測是：一年有365天，23人中有兩人剛好同一天出生的機率
恐怕不會太高吧？但事實上23人中兩人在同一天出生的機率超過50%！

說明： 一年有365天，所以乙和甲在同一天生日的機率是1/365，反過來
乙和甲不在同一天生日的機會是1-(1/365)=364/365。同理，丙的生日和
甲乙兩人都不同的機率是363/365；丁的生日和甲乙丙都不同的機率是
362/365….；依此類推，第23人和其他22人具有不同生日的機率是343/365
那麼這23人具有完全不同的生日之機率是---
(364/365)×(363/365)×(362/365)×…×(343/365)=0.493
所以，在23人中至少有兩人有相同生日的機率是 1-0.493=0.507

以下資料可供參考：

棋盤截線

用18塊 1×2的骨牌覆蓋 6×6的棋盤。
試證明：無論怎樣覆蓋總有一條棋盤的水平邊線或垂直邊線
不會截過任何一片骨牌。

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